请选择 进入手机版 | 继续访问电脑版

五彩数学

 找回密码
 立即注册

QQ登录

只需一步,快速开始

查看: 477|回复: 6

近世数坛 基础理论成果绚丽

[复制链接]

89

主题

198

帖子

773

积分

管理员

Rank: 9Rank: 9Rank: 9

积分
773
发表于 2016-3-31 20:28:00 | 显示全部楼层 |阅读模式

    高斯墓碑上画的是正十七边形图案。过直线外一点只有一条平行线吗?专刮脸的理发师不知自己的脸蛋该谁来刮。华罗庚说:“大哉!数学之为用。”海湾战争中,数学大显神通。

  话说那18、19世纪,西欧的数学确实是轰轰烈烈红红火火,在几何、代数两方面都有了空前的变化,彻底地解放,两场大革命相继进行,令人目不暇接。现在先与诸位道一番几何的大变化。

  要说这场变化,却与一个人有脱不掉的干系。你道是谁?那便是赫赫有名的数学王子高斯,卡尔·弗里德里希·高斯!他不但被公认为是19世纪最伟大的数学家,而且与阿基米德、牛顿并称为历史上最伟大的三位数学家!

  小卡尔的故事无人不晓。从 1 连加到 100,如何简便地算,诸位肯定不止一法,觉得挺容易。不过诸位可都是老师教会的,而小卡尔是十岁时自个想出来的,这才真叫不容易。高斯晚年常常幽默地说,在他会说话之前,已经会计算了。神童和天才确实是不常有的。

  高斯在1777年出生的时候,家境可是不太好。父亲是瓦工,对小娃娃读书没什么兴趣。但卡尔的母亲却鼓励他学习。小学的校长也很爱才,对他赞不绝口,推荐给不伦瑞克公爵。公爵搞了次“手拉手”活动,赞助15岁的高斯进了中学,18岁时又送他进哥廷根大学。

  起初高斯对语言和数学都很感兴趣,犹豫不决不知学什么好。他决定为数学而献身是1796年3月30日的事。这一天,他找到了用尺规作出正十七边形的方法!两千年的难题解决了,卡尔知道自己是属于数学的。对这个发现他是如此的钟爱,所以后来留下话,墓碑上就刻这么个图形。

  高斯用代数的方法找到了作法。进一步,他解决了全部情形:正多边形的边数是多少就能画出,是多少用尺规又作不出,被证明得妥妥贴贴。高斯的才能更进一步显示,20岁作出的博士论文令大家刮目相看,大跌眼镜,他竟然证出了代数基本定理,这个连牛顿、欧拉、拉格朗日等大师也难倒的定理!代数基本定理是说,几次多项式至少有一个根。

  这位数学王子在天文学方面也有拿手绝活。同样还是很年轻的时候,他用新方法只根据很少的数据,算出了最新发现的谷神星的轨道。高斯不管做什么事都要好上加好,力求完美,所以很多成果就永远在他的笔记本上不露面。这其中有很多有着重要创见的思想,“非欧几何”就是一例。

  什么是非欧几何呢?那还要从欧几里德的《原本》说起。《原本》是建立在有限的几条公理之上的逻辑构造的大厦,这是大家都知道的。从公理出发,能推出所有的定理,而公理本身就不能再往前推了,就把它当作不言自明的东西承认下来。

  对公理体系也有个起码的要求。首先几条公理之间不能相互矛盾。其次,所用公理要尽可能少,不能把可以从公理推出的定理,也当成公理立在那里,也就是各条公理要相互独立。

  在《原本》中一共有九条公理,比如说两点间有唯一直线啦,直线可以任意延长啦等等。其中有一条叫平平公理,欧几里德有点把握不住,觉得它像条定理,可就是没法证出来。没法子,还是把它作为公理,放在了其他几条公理的后面。而且,欧几里德在证前28个定理之前,一直没有用过这条平等公理,总想绕开它。

  《原本》中的平行公理挺罗嗦,可以换成功效一样的其他说法,比如初中课本中是这么说的:

  “过直线外一点能作一条且只能作一条和已知直线平等的直线。”把平行公理作为定理,试图从其他公理把它推出来,数学家们为此忙碌了两千多年。

  有些人是从正面去证,直接证。当他们觉得大功告成获得“证明”时,再仔细检查一看,都用了新的假设,比如像“三角形内角和等于两直角”,“平面上存在着一对不相等的相似三角形”,等等。

  这些新的假定都需要用平等公理才能证出,只不过将平行公理换了个说法。这样的“证明”就犯了逻辑循环的错误。

  直接证劳而无功,就想到间接去证,用反证法。这样就先否定平行公理,然后从这个否定的前提出发,进行一系列推理,如果推出了矛盾,那么对平行公理的否定就不对了,就证明了平行公理。想法很好,咱们中学生都用这样的反证法。

  但是用反证法推来推去,推不出矛盾。比如瑞士的兰伯特(1728—1777),将平行公理否定,最后推出三角形的内角和大于或小于两个直角。

  有人说这不就产生矛盾了嘛?其实一点不矛盾,因为三角形内角和定理和平行公理是一码事,两者可以相互代替。你用反证法,假设平行公理不对,也就是假设过直线外一点不是只有一条线和已知直线平行,那么实际上也等于同时假定了三角形内角和不是两直角。

  从否定平等公理,不但推出了三角形内角和的稀奇结论,而且还推出了其他一些和平常的几何不一样的定理,不过就是推不出矛盾来。

  正面证不行,反证也不行,看来平行公理是证不出了。这说明平行公理和其他公理地位平等,谁也不依赖谁,相互独立。

  这一点得到了许多人的承认,对平等公理就只能把它当成公理了,要想证明绝对没戏。但是在用反证法时,从平行公理的反面出发,却推出了一系列和欧氏几何完全一样的结论,把它们集中在一起,不就构成另一堆定理的系统吗?它们完全不同于欧氏几何,但却完全说得通,逻辑上站得住。

  不同于欧几里德几何的新几何产生了,它是19世纪所有复杂伟大的技术创造中,最深刻但又是最简单的一个。确实太简单了,只要把平行公理换成它的反面,其他公理不动,新几何的基础就打好了,以后只需要进行推理,就能构造出非欧几里德几何的大厦。

  要承认非欧几何是十分困难的,尽管逻辑上没矛盾,可心理上太难承受。你能相信三角和的内角和不等于180度吗?说破嘴皮你也不信,总觉得和经验不符,似乎我们生活的空间,天然地就是欧几里德式的。

  咱们的生活空间,不一定是欧几里德几何所描绘的,不能先入为主。认识到这一点的在当时是凤毛麟角,在现在也不多。咱们平常的世界似乎用欧氏几何都能说得通。

  而首先认识到这一点的,就是高斯。他这么说过:“我们不能证明我们的欧几里德几何具有物理的必然性。或许在另一个世界中我们能洞察空间的性质,但现在却不行。”伟大的天才高斯对非欧几何已经是明察一切了,但是他怕新的理论不被人理解,会受到起哄嘲笑,所以一辈子都没有公开发表的胆。即使别人已经提出来了,他也表示沉默。

  那么又是哪一位功夫深湛的大师,有此伟大创造呢?他就是匈牙利数学家鲍耶·亚诺什。鲍耶的老爸与高斯是大学同窗,这位老爸也是位数学家,对平行公理证明了一辈子也没什么名堂。

  鲍耶子承父业,又接手了这个问题。老爸知道了火冒三丈,立即写信训子,说你老爸早已苦头吃足,你小子要陷进去也没什么好下场。即使是牛顿在世,他也必陷入泥坑,坏一世英名。你小子赶快给我收摊,改练别的吧。鲍耶牛脾气一上来,心想我还就要干到底。1823年,他的思维突然打开,迸发了非欧几何的新设想。他写信给父亲说,“我已经在乌有中创造了整个世界”。

  鲍耶在 1825 年基本完成了非欧几何学,后来的几年他央求老爸帮他出版,根本得不到同意。1831年,鲍耶给老爸说,咱干脆给高斯伯伯寄份论文,看看他怎么个说法。

  论文总算到高斯老伯的手中,高斯看后大吃几惊!他回信给他的同学说,我真是吓坏了,贵公子所做的一切和鄙人三十几年前想的完全符合,称赞他等于称赞我自己。使我特高兴的是,这么一位出类拔萃惊世骇俗的人物,正是老哥你的儿子。

  说实话,高斯写这封信时,心里恐怕也是酸酸的,谁让自己没那份勇气呢。却说信到得鲍耶手中,大大刺痛了满怀希望的他。他不相信有人会赶在他前面,觉得高斯老伯倚老卖老太不仗义。从此郁郁寡欢,58岁就去世了。再说这最完整、最先发表非欧几何的,却是俄罗斯数学家罗巴切夫斯基。

  罗先生在22岁时,就着手研究这个问题。不久,他就意识到肯定存在另一种几何学,他把欧氏几何的其他公理照样采用,而对平行公理进行脱胎换骨,变成:过已知直线外一点至少有两条直线和已知直线不相交。

  1826 年,罗巴切夫斯基 33 岁,正式宣读了非欧几何的论文。这位几何学上的哥白尼,又吓得教廷胡话连篇,总主教宣布他的学说是邪说,有人用匿名信谩骂他,种种花样不一而足。这一切正如高斯所预料到的。高斯写信给罗巴切夫斯基,表示十分钦佩。可是在公开场合他又装成个没事的人,从不多说一句话。

  后来德国数学家黎曼(1826—1866)又创建另一类非欧几何,人们把它叫做黎曼几何。黎曼的体系中是这么替换平行公理的。

  平面上不存在不相交的直线。即平面上不存在平行线。

  “19世纪最有启发性,最重要的数学成就是非欧几何的发现”,大数学家希尔伯特的评价是绝对权威的。除了打破了欧氏几何的一统天下,打破了对欧氏几何的盲目崇拜以外,非欧几何的建立使大家对公理和公理建立起的体系有了更清楚的认识。

  一组公理,只要彼此独立,互相无矛盾,就能在这个基础上进行推导,建设新体系。哪怕这其中有些公理似乎是很叫人吃惊,很有些不习惯也不要紧。这么一来对数学家的工作方法、方向都产生了很大影响。

  大家都知道怎么去系统化一门数学了,就是先找出一组公理,然后通过推理头头是道推出其他内容。把数学的各个分支都弄成一个个公理的体系,就是数学地公理化思潮,非欧几何在这场变化中的作用是很明显的。首先是对欧氏几何严格公理化。欧氏的《原本》虽然也说得头头是道,但有很多缺点。比如那第四条公理,“凡直角都相等”是可以证明的,不能算公理,不独立。再说对一些基本的概念,比如说“点、线、面”,没有和一般的概念区别开来。一般的概念都从它们出发来定义的。而基本概念本身就不能下定义,否则会造成逻辑上的麻烦,闹不好会循环定义。

  正是这么一考虑,德国大数学家希尔伯特在 1899 年出版了《几何学基础》,使得欧氏几何严格地公理化了。“我们必须能够用‘桌子、椅子和啤酒杯’,来代换点、线、面”,希尔伯特的这番话倒不是说去研究什么啤酒杯,而是说点、线、面不能再给出什么定义了,应该作为原始基本概念,所以不管换成什么名称也无所谓。

  这一来,数学就更抽象,但是概括包含的内容就更多。这种着重于对象之间的关系和结构,但是并不把对象看作是某一些具体的东西,确实是数学中更高明的一步,一种划时代的进步。

  同样的进步在代数中也在进行着。

  比如,乘法有结合律,加法也有结合律,咱们把这条共性抽象出来,就有这么个式子:

  (a*b)*C=a*(b*c)

  式子中那“*”号,就代表了一种更一般的运算,比如可以认为是乘法,也可以认为是加法,不过不能是除法。这式子中的a、b、c可以是各种各样的数,也可以是多项式。

  更进一步,a、b、c甚至于可以和数没有一点关系,而表示另外的对象。比如,看作是拨钟的一个动作,可以顺时针拨几个小时,也可以逆时针向后拨几个小时。那么a*b中,那个运算“*”又看作什么呢?可以看作是先进行拨钟的动作a,然后再进行拨动动作b,是拨的顺序。

  这样一来,a、b、c 就是多种多样的向前或向后拨的动作。有没有结合律(a*b)*c=a*(b*c)呢?当然有。因为只要a、b、c固定下来,先做哪个动作都不打紧,最后结果是一样的。

  这就是十九世纪经过革命的代数所具有的特点。不但符号代表的对象可以更广泛,五花八门;而且更着重“代数结构”。不管什么对象,什么运算,只要符合相同的规律,就认为是同一种代数结构。


回复

使用道具 举报

89

主题

198

帖子

773

积分

管理员

Rank: 9Rank: 9Rank: 9

积分
773
 楼主| 发表于 2016-3-31 20:29:17 | 显示全部楼层
     上面的那种代数结构都有结合律,咱们就把它叫做“半群”。而首先将代数结构提上数学日程的,就是法国天才数学家伽罗华(1811—1832)。而提到伽罗华,也必定要提起挪威的阿贝尔(1802-1829),他们都像在数学天空中闪电般的流星,发射出早期的异彩,后来又都不幸夭折,而死后才有天才这样的评价。

  阿贝尔一生道路坎坷,郁郁不得志。这倒霉的命运从一出生就伴随他,从小就受穷,连病都没钱去治。13岁时到一所教会学校学习,本来对数学是不大感兴趣的。正在这时,来了一位好老师,年轻热情,叫洪保。

  洪老师很快发现阿贝尔是块学数学的料,立刻对他格外关心,送一些书让他自学,还经常在一起讨论当时名家欧拉、拉格朗日的著作。阿贝尔立誓要解决五次方程的根式求解问题。

  原来自卡当、塔尔塔里亚解决了三次方程的求根,卡当的学生解决了四次以后,五次方程的求根公式却一直没有得到。

  数学大师拉格朗日(1736—1813)想了不少高招还是攻不下来。1821年,19岁的阿贝尔到克里斯蒂大学上学,学识大进更想一展身手。

  一开始他认为已经得出了五次方程的求根公式。后来再检查一下,发现了错误。连遭挫折,阿贝尔反复琢磨,悟出很可能根本就没有这样的求根公式!经过艰苦的努力,阿贝尔终于证明了用公式解一般的五次方程是不可能的。论文发表后,阿贝尔小小地发了点财,拿到一些钱,允许他到欧洲大陆去旅行。他从法国到德国,遍访名家,谁也不把他当盘莱。他再把论文寄给哥廷根的高斯,希望能“一识韩荆州”,结果还是不理不睬。

  阿贝尔一气之下直奔柏林,不去哥廷根了。在那里他十分幸运地结识了工程师克雷尔。克雷尔慧眼识英雄,甘当了一次人梯,特地办了个刊物让阿贝尔施展。这本杂志叫《纯数学和应用数学》,后来都叫它是“克雷尔杂志”。阿贝尔在第一卷上就发表了五篇以上论文,头几期一共登了22篇。杰出的成就,终于使大家刮目相看。

  1827年,阿贝尔回到挪威。谈不上衣锦荣归,却依然是一贫如洗。这时他又得上了肺结核,真是屋漏偏逢连阴雨。第二年,四名法兰西科学院院士,紧急致信挪威国王,请他为阿贝尔创造点外部环境。

  可是阿贝尔也撑不了多少天了。1829 年 4 月的一天,他永远闭上了眼。可是才隔三天,却又接到了柏林大学的聘书,他是再也没法应这个聘了。再说阿贝尔得出五次方程的结论以后,引起了许多人的注意。内中有一位后生小子,还是个17岁的中学生,就接着阿贝尔没有做完的事情继续做下去,彻底解决了方程求解问题。

  此人是谁?他就是数学史上有名的青年才子伽罗华(1811—1832)。伽罗华的生命比阿贝尔更短、更悲惨。他是巴黎附近一个小镇镇的孩子。12岁上中学,有些老师给了他“朽木不可雕”的评语。过了三年来了位数学教师范厄尔,慧眼识英才,指导小伽罗华自学了许多名家巨作。刚过15岁,伽罗华就显示出非凡的数学天才。

  眼看着就要进大学,小伽罗华信心十足,两次报考重点院校名牌大学——高等工艺学院,两次名落孙山,他满足不了考官们的死板要求。伽罗华坚持不懈,终于在1829年进了师范学院,准备当个教师,吃口安稳饭。

  在考上大学之前,中学生伽罗华就开始研究方程论啦。这时,年轻的阿贝尔成功的消息传来,伽罗华大为振奋。继而觉得还有不少问题需要解决,“阿贝尔的杰出成就轰动世界,但他还没有解决哪些方程可以用根式求解,而哪些不能。”

  比如说,一般的五次方程是不能有求根公式了,但一些具体的五次方程,\

  阿贝尔当然也想过,什么条件下能有根式求解,但苦苦思索终不可得。

  绝代天才伽罗华既找准了这个问题,就倾注全力攻坚。恰在此时,他又遇到一位高手里查德,伽罗华受此人指点,才能充分释放出来。1828年,这位17岁的中学生彻底解决了代数方程有根式解的条件问题,取得了划时代意义的成果。大家可能会问,一个方程的解的问题,又如何称上划时代?

  原来,伽罗华在研究这个问题时,发现了“群”这种代数结构,创立了“群”的研究,这才真正是革了一次命,划了一下时代。

  “群”是一种重要的代数结构。除了要满足结合律以外,还要再加上一些条件。所以“群”这种结构就是在上面说过的“半群”的基础上再添几条。

  添的条件倒也一般,第一条是算的对象里要有一个元素,叫做单位元,不管其他什么元素和它进行运算,仍然不变。也就是 a*b=e*a=a,这 e 就表示那单位元素。

  当然,运算不同、运算的对象不同,这单位元e也不同。比如在乘法里,e当然是1;在普通的加法里e=0,因为这时候运算“*”代表“+”,a+o=o+a=a嘛。而如果 a、b、c 等等表示拨钟的动作,那么 e 就是把钟拨上十二圈,十二小时这么个动作。你想想,假设a是把钟拨到四点,这一个动作。那么a*e就是先拨到四点,再拨十二圈,不还是四点,还等于a嘛:a*e=e*a=a。

  群,还要添上一个条件,虽然也简单,咱们也不打算再多絮叨。千句并成一句:群是近现代代数学的中心,是一种重要的代数结构。

  降了群这种代数结构以外,其他还有环、域、格,等等。

  年轻的中学生伽罗华就是发现了置换群与代数方程之间的关系,他用群这种强有力的数学工具,非常清晰非常简单地一举攻克了方程的根式求解问题。

  伽罗华为他的发现欣喜若狂,立即把论文寄给法兰西科学院。1828年6月1日,科学院举行例会。主审伽罗华论文的,是当时的数学大权威柯西(1789—1857)。众位德高望重的先生正想看看这位乳臭小子搞点什么名堂,可是柯西打开皮包,双手一摊,说对不起,那篇论文找不到了。

  过了两年,伽罗华将论文精心修改,再交法兰西科学院。这次决定让老院士、数学家傅立叶(1768—1830)审查。可是还没等到开会,傅先生撒手西归,伽小子的论文又一次下落不明。

  伽罗华总觉得“事不过三”,就第三次再送出自己的成果。这一次总算有了审查意见,著名数学家泊松(1781—1840)花了四个月时间看稿,最后签上了“完全不可理解”几个字。曲高和寡,连权威都不解其中奥妙,可见伽罗华领先了多少步!

  此时的伽罗华在大学上学,卷入了大革命的浪潮,学校把这位不安分分子开除了,还坐了几个月的牢。出狱不久,晦气还未除尽呢,他的情敌又提出挑战,要和他决斗。

  决斗前夕,伽罗华料定难逃此劫,要知道对方是位帝国的小军官。所以伽罗华就匆忙将自己的笔记、论文手稿寄给好友,托付后事。

  决斗的场面,非在下之秃笔所可描绘,无非是赳赳武夫,翩翩公子,枪来弹往,血肉模糊。那赳赳武夫是死是伤咱倒不必管他,只是可怜的罗华却伤重不治,24小时后闭上了眼,时年21岁。

  过了 14 年,1846 年,法国数学刘维尔(1809—1882)在整理各种遗稿时,惊异地发现了伽罗华的思想。他把伽的论文发表在《数学杂志》上。直等到1870年,离伽罗华的发现已经40多年了,他的成就才得到充分肯定。人们掸去了埋在明珠上的厚厚尘土。

  代数在更抽象、更有用的方向上发展。和几何的解放同时,代数也得到了真正的解放。这种解放就表现在对代数结构的承认,对代数结构的看法。

  比如说人们规定一种代数结构,其中的“乘法”,没有交换律,也就是a*b不等于b*a,那么你会怎么看?你肯定很不习惯,或者认为是胡说八道。

  当年哈密顿(1805—1865)就遇到过这样一种巨大压力。大家就像责问几何中怎么会有不等于 180°的三角形一样,也非常地愤怒代数中还有什么交换律不成立的运算。
回复 支持 反对

使用道具 举报

6

主题

81

帖子

235

积分

版主

Rank: 7Rank: 7Rank: 7

积分
235
发表于 2016-4-3 19:22:07 | 显示全部楼层
这些道理好生啊
回复 支持 反对

使用道具 举报

12

主题

133

帖子

391

积分

版主

Rank: 7Rank: 7Rank: 7

积分
391
发表于 2016-4-5 20:47:16 | 显示全部楼层
这些道理我都有一点不理解。
回复 支持 反对

使用道具 举报

13

主题

225

帖子

671

积分

智慧侠客

Rank: 4

积分
671
发表于 2016-4-9 10:15:00 | 显示全部楼层
看不懂,也不理解。
回复 支持 反对

使用道具 举报

34

主题

200

帖子

684

积分

版主

Rank: 7Rank: 7Rank: 7

积分
684
发表于 2016-4-17 18:15:16 | 显示全部楼层
这些道理有点生疏,不理解
回复 支持 反对

使用道具 举报

2

主题

83

帖子

229

积分

英雄少年

Rank: 3Rank: 3

积分
229
发表于 2016-9-20 19:26:08 | 显示全部楼层
看不懂不理解
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 立即注册

本版积分规则

五彩数学空间 ( 制作:胡家冰 | 电话:13956669811 )

GMT+8, 2017-8-23 02:30 , Processed in 0.160700 second(s), 31 queries .

Powered by dgrj.cn X3.2

© 2001-2013 dgrj.cn

快速回复 返回顶部 返回列表