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东方中国 《九章算术》标青史 西域雅典 《几何原本》传百世

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发表于 2016-3-25 09:30:08 | 显示全部楼层 |阅读模式

《几何原本》的版本竟育一千多个,在西方仅次于《圣经》。对“辗转相除”、“盈不足术”你一定感到很新奇,不过两千年前的《九章》早就有了记载。毕氏定理意和“新娘的椅子”有关系。柏拉图在门口挂了个牌牌:“不懂几何的人不准入内。”

  同学们看完回目也许纳闷:上一回中说得好好的要谈谈《几何原本》,如何又出来个《九章算术》?此两书可否相提并论?

  大家有这些问题倒也并不奇怪。历来西方学界常常只提《原本》如何如何了得,忽略中国古代算术的独特成就。大家学到初中,也往往只知有《原本》,不知有《九章》,都因为咱们现在的数学体系,全以《原本》为蓝本。

  其实,两篇巨著都是名标青史、流传百世的大手笔,各有千秋,各领风骚,各辟蹊径,代表了数学发展的不同方向呢!

  再说,虽然《九章》不知出自何人之手,而《原本》是由自欧几里德著,但两书成书的年代(那时不能叫出版,没出版社,都是手抄本),大约都是公元前二三百年间,《几何原本》要稍稍早一点。

  花开两朵,各表一枝,让我分头说起。

  且说古华夏文明在开始的几干年确实是灿烂,确实够辉煌。就从数学这方面说,咱们在前面已经看到,拿过好几项世界冠军:十进制位值记数法,最早的先进计算工具算筹,《周髀》中介绍的勾股定理、日影测量以及复杂的分数运算。

  《周髀算经》中分数运算已经很令我们吃惊了,在那样繁杂的分数除法中,很正确地使用了分数的基本性质,达到了熟练运算而法则也了然于胸的程度,不简单,堪称世界第一。

  不过,比起《九章》中的分数运算来,《周髀》就比较逊色了。《九章算术》中的分数运算法则系统明确,除了约分等的步骤与今略有不同外,其他运算法则与如今的完全一致。

  那么《九章》又是一本什么样的算书呢?起自何代?出自何人之手?内容有哪些?下面我就——道来。

  我国古代数学典籍,是十分的丰富。其中尤以“算经十书”最为宝贵。这“算经十书”是几千年来,辗转相传的中国古代算术的精华本,使得中算传统一脉相承,具有自己的特征和风格。而《九章算术》正是《算经十书》中的最重要一部!后世为《九章》作注解的,学习《九章》进而研究并成正果的,把自己作的书也称为什么什么九章的,大有人在。

  《九章》,标志着我们中国初等数学体系的建立,所以在隋唐那时候,国家当时就在相当于现在的国立大学里,设立算学专业,用的教材就是《周髀算经》和《九章算术》。

  说了半天,这《九章算术》到底是什么时候由什么人写成的呢?由什么人写成的,这已经很难考证出来了,除非以后在地下挖到的什么“简”上有另外的说法。不过从这本书的情况来看,很可能是经过许多人辗转传抄,再加上批注一番,或者增加一些,才成了一本书。

  那么这本大约又是什么时候写成的?这也好像不能完全肯定。有人认为是西汉时期;有人认为与《周髀》同时。不过成为我们现在看到的这种样子

  就比较晚了。

  现在流传的是刘徽加了批注的本子了。刘徽“幼习九章,长再详览”,也就是说小时候认真细致地学习《九章》,长大后更进一步详加研究,于是成为名闻中外的数家大家。


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 楼主| 发表于 2016-3-25 09:30:33 | 显示全部楼层
那么《九章》究竟又有些什么内容呢?

  它是一本数学应用的问题集,一共收集了246个问题。

  说到这儿,可能有些朋友会感到心烦,在学校、在家里被习题集折磨得已经够呛,想弄本演义轻松一下,不想又碰响了地雷。

  要我说那《九章》里面的246个问题不是什么题目,咱也不敢昧着心瞎蒙。不过,那古人的意思是借题说“法”,说算理,讲述一般的原则,比如像约分通分啦,方程的解法啦等等。所以,这至多是一本通过例题来讲解方法和原则的书籍,倒根本不是那些搞题海战术的习题集。

  《九章》采用的是“问——答——术”这样一种编排的方法,就是先提出问题,再给出答案,最后得出一般的算法。

  这算法咱们不要简单地认为就是计算的方法,而应当把它看作是解决问题的方法来得更得当。当然,这解决方法可以是比较具体的,也可是解决一大类问题的一般方法,自然也可以包括计算的方法。

  不过这算法不能是泛泛而谈,而是要有具体的步骤,告诉人,一步一步该怎么做。

  那《九章》里面的“术文”就是表示算法的,也就是一个程序,而且确实可以用计算机程序设计语言把这些程序写出来,上计算机运算。

  现在还有人更想得深刻,也比喻得很生动。他们认为那在古中国时时在用的算筹就好像是计算机的硬件,而“术文”则是软件。有软有硬,形成了传统中国算学的程序化计算的风格。

  这样一种与电脑的使用相映成趣的古今局面,自然引起国内外有关专家的兴趣和注意。

  从《九章算术》起,中国古代数学著作大多沿用了“问——答——术”这么一种形式,你看,影响多大!

  在书中的这246个问题中,有的是一题一术,有的是多题一术,有的是一题多术。而且整本书都按实际应用分为九部分,这就是“九章”的来历了。

  这九章分别是:方田、粟米、衰(cuī)分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股。

  所谓方田章,主要就是计算各种形状的田亩,有方形的,等腰三角形的(叫“圭”田),直角梯形(“邪田”),还有什么“箕田”(等腰梯形),圆田(圆形田地),弧田(弓形)等等。

  方田章先明确方田的算法:“方田术曰:广从步数相乘得积步。”又说“广从里数相乘得积里”。方田,就是正形或长方形的田地。

  这里的“广”,就是宽。“从”就是“纵”,也就是长,“广从步数相乘”所得到的就是面积的步了(平方步,那时还没有这概念)。

  对于圭四(等腰三角形)的面积,是这么求的(“术”):“半广以乘正从。”“正从”,就是等腰三角形的高。“半广”,当然是指“广”的一半了。所以当然有:

\

  那么一般的三角形为什么就没有招“术”了呢?可能是等腰三角形沿高对称一裁,再移过去一拼,就是一个长方形了。而一般的不等腰三角形就不太好拼了。想想这些古人也真不容易,研究了半天,还只能得个等腰三角形的面积。

  《九章》中对梯形的面积,给出的“术”也完全OK。而对圆型的面积计算,有的正确,有的就不对了。

  咱们现在看看《九章》方田章第31问。原汁原味,抄录如下:“今有圆田,周三十步,径十步。问为田几何?”“答曰:七十五步。”这里面“问”和“答”都有了。

  “问”中是说,有一块圆形的田,周长是三十步,而直径是十步,请问这块田面积多少呢?这里周长与直径之比,也就是圆周率,是 3,自然很不精确。刘徽先生在几百年后的三国时期(他是魏国人)看到这圆周率 3,自然觉得有补充、更改的必要,所以就很详细认真地进行了研究,并发表了论文(他很谦虚地用给《九章》加注的形成公布了他的光辉论著),咱们在后面会慢慢谈起他的这些伟大成就。

  那么,计算圆的面积,为什么给了周长,又给直径呢?那不是多给已知条件了吗?

  实际上并不是这样,而是因为随后给出的招“术”中,有四个计算公式,都是利用圆周、直径表示的。

  “术曰:半周半径的相乘得积步。又术曰:周径相乘,四而一。又术曰:径自相乘,三之,四而一。又术曰:周自相乘,十二而一。”

  瞧瞧,一下子给出了四个“术”,或者说四个解题的程序:
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 楼主| 发表于 2016-3-25 09:31:17 | 显示全部楼层
圆面积=半周×半径,

\

  这里,都是把圆周率取为3。你用圆周率3,可以很方便地在这四个公式之间互推。

  平面圆形面积当然好算一些。那么,体积在《九章》中又有什么“术”呢?

  体积的算法集中在商功章里。商功章里首先就给出了城墙啦,堤坝啦,沟渠啦等等的体积,这些体积好算,大家在小学就学过,不外乎截面积乘以一个长度,而截面大多又是个等腰梯形。商功章中给出的术文是:

  “并上、下广而半之,以高若深乘之,又以袤乘之,即积尺。”那个“上、下广”,就是截面等腰梯形的上、下底;而“高、深”,就是截面的高;而“袤”、就是城墙沟渠堤坝之类的长度了。很显然,这个公式与现在的计算是分毫不差,值得赞叹。也难怪,春秋战国一直到秦始皇,修长城筑城墙挖沟渠都成了小小老百姓每年每日的功课了,再算不好体积,量不出土方就对不住伟大的秦始皇们的栽培了。

  这个圆柱体呢,在那时叫“圆■■”(bǎodǎo),也就是一个土碉堡,土炮楼子。刘徽说:“■……谓以土拥木也。”也就是用木头搭个架,然后用土拥上去,成一个小土堡。

  可见那时候庄圆主们的土炮楼比比皆是,使得《九章》作者的脑子里的印像,圆柱体就是土堡子了。

  圆■■的计算“术”是“周自相乘,以高乘之,十二而一”,也就是:

\

  考虑到那时候3是圆周率,那么这个公式是一个精确的、正确的公式。

  如果不准,那是因为圆周率。

  《九章》中的“方亭”、“圆亭”也很有趣,大家想想,亭子这种建筑大体是什么形状呢?大体上是上面小一些,下面大一些,也就是我们所谓的台体。
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九章算术原来那么厉害
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哇,九章算术这么厉害。
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九章算术真厉害!
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九章算术真厉害呀,数学真是有趣!
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九章算数好厉害
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哇,九章算术真厉害呀。
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发表于 2016-4-9 14:53:12 | 显示全部楼层
哇!九章算术真厉害,数学好有趣。
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